如何证明卡诺效应

卡诺定理的证明可以通过多种方法进行，以下是几种常见的证明方法：

方法一：反证法

假设 ：假设存在一个效率大于可逆热机的热机M'，其效率为η'，并且满足Q1' > Q1和W' > W，其中Q1'和W'分别是M'从高温热源吸收的热量和对外做的功，Q1和W分别是M从高温热源吸收的热量和对外做的功。

推导

由于M'是可逆热机，可以将其作为制冷机使用，即从低温热源吸热Q2'，向高温热源放热Q1'。

将M和M'联合成一个总热机M''，该总热机与外界没有热交换，只与高温热源和低温热源发生热交换，其热量为Q1' - Q2'，对外做功为W' - W。

根据热力学第一定律，W + Q2 = Q1，Q1' = Q2' + W'，代入上式得到W' - W = Q2 - Q2'。

由于Q2 - Q2' > 0，这意味着总热机M''在没有外界做功的情况下，将热量从低温热源传递到高温热源，这违反了热力学第二定律的克劳修斯表述。

结论：

因此，假设不成立，可逆热机的效率η必须大于等于任意热机I的效率ηI，即ηI ≤ ηk，从而证明了卡诺定理。

方法二：复合机方法

设定：

设有可逆机E和E'，E'作正循环，E作逆循环，将它们组成复合机。

调节：

调节两个热机使所作的功相等，即A = Q1' - Q2' = Q1 - Q2。

假设：

假设复合机的效率η' > η，其中η是E的效率。

推导

根据假设，Q2' < Q2，Q1' < Q2。

作为复合机，结果成为外界没有对复合机做功，而复合机却能将热量Q2 - Q2' = Q1 - Q1'从低温热源送到高温热源。

这违背了热力学第二定律的克劳修斯表述。

结论：

因此，假设不成立，复合机的效率η'必须小于等于E的效率η，即η' ≤ η，从而证明了卡诺定理。

方法三：克劳修斯不等式

设定：

设有两个热机A和B，高温热源1和低温热源2，A是可逆热机。

效率公式：

A的效率为ηA = W/Q1，B的效率为ηB = W'/Q1'，其中W和W'分别是A和B对外做的功，Q1和Q1'分别是A和B从高温热源吸收的热量。

假设：

假设ηA < ηB。

推导

根据假设，Q1 = Q1'，结合效率公式可得W < W'。

已知A是可逆热机，利用W'的一部分（其值等于W）使A逆循环工作，成为制冷机。