外心的性质是什么（一个与重心和外心有关的定理）

如下图，G为△ABC的重心，AG、BG、CG与△ABC的外接圆分别交于D、E、F，则AG/GD+BG/GE+CG/GF=3。

证明：设AB=c，BC=a，AC=b，记AD与BC交于K，则有BK=KC=a/2。

根据相交弦定理：BK·KC=AK·KD，所以KD=a²/(4AK)。根据重心性质可得：AG=2AK/3，KG=AK/3。

所以AG/GD=AG/(GK+KD)

=2AK/(AK+3a²/(4AK))

根据中线长公式：

AK²=b²/2+c²/2-a²/4，代入上式可得：

AG/GD=2AK²/(AK²+3a²/4)

=(2b²+2c²-a²)/(a²+b²+c²)

同理BG/GE=(2a²+2c²-b²)/(a²+b²+c²)

CG/GF=(2a²+2b²-c²)/(a²+b²+c²)

所以AG/GD+BG/GE+CG/GF=3

如果换做△ABC的外心O，显然有

AO/OD+BO/OE+CO/OF=R/R+R/R+R/R=3

可见重心和外心都能满足上述性质。如果换成一般问题，设P是△ABC内一点，AP、BP、CP与△ABC的外接圆分别交于D、E、F，满足AP/PD+BP/PE+CP/PF=3的P点有几个，有什么规律。

其实这些P点与△ABC的重心和外心有关，满足上述条件的P点的轨迹为以△ABC的重心G和外心O连线为直径的圆。如下图，有兴趣的可以自己证明一下。